Question

高一数学数列

Answer 1

1）设正项等比数列{a[n]}公比为q，则
B(n)=a[2]+a[3]+...+a[n+1]=q*a[1]+q*a[2]+...+q*a[n]=q*(a[1]+a[2]+...+a[n])=q*A(n)，
同理，C(n)=q²*A(n)
则B(n)²=[q*A(n)]²=A(n)*[q²*A(n)]=A(n)*C(n)
所以B(n)是A(n)和C(n)的等比中项；

2）由于{a[n]}是正项等比数列，故有足数和定理a[3]*a[4]=a[2]*a[5]=2;
结合a[3]+a[4]=3且a[3]＞a[4]可得a[3]=2，a[4]=1；
则{a[n]}公比q=a[4]/a[3]=1/2；
则a[n]=a[4]*q^(n-4)=1/2^(n-4)；
{a[n]}的前n项和为A(n)=a[1]+a[2]+...+a[n]=16-1/2^(n-4)
C(n)=q²*A(n)=4-1/2^(n-2);

T[n]=C(1)+C(2)+...+C(n)
=4-1/2^(1-2)+4-1/2^(2-2)+...+4-1/2^(n-2)
=(4+4...+4)-[1/2^(1-2)+1/2^(2-2)+...+1/2^(n-2)]
=4n-[4-1/2^(n-2)]
=4n+ 1/2^(n-2) -4