Question

函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin^2的最小值为g(a),a∈R

(1.)求g(a)(为什么要分三段）
（2）若g（a）=1/2，求a及此时f（x）的最大值

Answer 1

1)令t=cosx
则f(x)=1-2a-2at-2(1-t^2)=2t^2-2at-2a-1=2(t-a/2)^2-a^2/2-2a-1
因为|t|<=1,因此需将对称轴x=a/2分成三段来讨论g(a):
当a/2<-1时，t=-1时最小，g(a)=1
当-1=<a/2<=1时，t=a/2时最小，g(a)=-a^2/2-2a-1
当a/2>1时，t=1时最小，g(a)=1-4a
2)由上，若a/2>1,则g(a)=1-4a=1/2,得：a=1/8,矛盾；
若-1=<a/2<=1,则g(a)=-a^2/2-2a-1=1/2,解得：a=-1,或a=-3，其中只有a=-1满足范围。
即只有a=-1
此时f(x)=2(t+1/2)^2+1/2
当t=1时，取最大值5.

Answer 2

解.（1)f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x=1-2a-2acosx-2+2cos²x=2(cos²x-acosx+0.25a²)-0.5a²-2a-1=2(cosx-0.5a)²-0.5a²-2a-1当-1≤0.5a≤1即-2≤a≤2时f(x)的最小值g(a)=-0.5a²-2a-1当a>2时,当cosx=1时,f(x)的最小且g(a)=1-4a当a

Answer 3

(1)
f(x)
=1-2a-2acosx-2sin^2x
=1-2a-2acosx-2(1-cos^2x)
=2cos^2x-2acosx-1-2a
=2(cosx-a/2)^2-1-a^2/2-2a
所以函数最小值=-1-a^2/2-2a
g(a)=-2a-1-(a^2/2)
(2)
-2a-1-a^2/2=1/2
因为-12
则最小值为
f(1)=-4a+1=1/2
a=1/8
矛盾
如果a/2