Question

工程数学线性代数同济第五版 P10性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。的证明过程有一点很不懂。

证明详细过程为：

设行列式

向左转|向右转

是由行列式D=det(aij)对换i，j两行得到的，即当

k≠i,j时，bkp=akp;当k=i,j时，bip=ajp,bjp=aip,于是

D1= ∑(-1)tb1p1…bipi…bjpj…bnpn

= ∑(-1)taip1…ajpi…aipj…anpn

= ∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn

其中1…i…j…n为自然排列，t为排列p1…pi…p
j
…pn的逆序数。设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为

t1，则(-1)t=-(-1)t1,故

Dj= -∑(-1)t1a1p1…aipj…ajpi…anpn=

-D 证毕

上述为书本上完整的证明过程。

其他部分都很明白清晰，其中我最不明白的是
D1= ∑(-1)tb1p1…bipi…bjpj…bnpn

= ∑(-1)taip1…ajpi…aipj…anpn

= ∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn
最后一个式子（∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn）怎么等于上面一个（∑(-1)taip1…ajpi…aipj…anpn）的

Answer 1

你跟我以前想的一样，现在我已经明白了，要想搞明白这一步，首先你得非常清楚行列式表达的定义，行列式是n!项的代数和，其中每一项是位于不同行不同列的n个数的乘积再加上符号（－1）的t次幂，关键是t怎么得来的，它是把每个乘积中的项的行标按顺序排好后相应列标的逆序数，所以这里的D可以表示为∑（－1）的t1次幂乘a1p1…aipj…ajpi…anpn，你是觉得列标的顺序pj和pi反了吧，其实这样表示不影响，只要把行表排好后列标任意排就行，因为不管怎么排，总能排成n!项，所以换行后的所得行列式的每一项都能找到原来的对应项的相反数，你如果写出一个简单的行列式，比如四阶，把它的按定义写出几项，然后互换它的二三行，再写出互换后行列式的对应的几项，就能看到逆序奇偶相反了，所以正负相反；其实书上的证明表达的不太容易理解，这也是很多人觉得数学难的原因，你也可以按定义直接思考，互换两行后行列式的每一项的行标按从小到大顺序排好后，其列标必有两个数颠换，这是互换两行造成的，这样每一项逆序数奇偶性必然发生改变，所以它的符号就改变了，而它的值没变，还是原来没交换的行列式的对应项的乘积，希望采纳！如果还不明白可以追问我

追问

你这是复制的吗

Answer 2

∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn=∑(-1)taip1…ajpi…aipj…anpn
这个等式只用了乘法交换律和结合律，把两个因子aipj和ajpi的位置换了一下而已，注意(-1)^t的部分没有动过
真正导致行列式变号的是(-1)^t = -(-1)^t1这一步