Question

用微积分可以求得图形的精确面积吗？有说可以的，有说不可以的，我真的不明白啊～

Answer 1

昨天回答了一个问题，是关于通过微积分求得的曲线长度是否为精确长度的，这里的原理都是想通的，我把昨天的回答链接发给你

http://zhidao.baidu.com/question/1924814315696140627

如果手机不方便打开链接的话，我把问题和回答摘给你看：

-------- 问题 --------

微积分的基本思想是“以曲代直”，但是我觉得在用微积分计算曲线长度时，虽然对积分变量取了极限（其实，为什么是取了极限我还是不清楚的），能够使'用于代替曲线的直线段的长度趋向于0，但直线段只是趋向于0，也就是说直线段还是直线段，则由这些直线段组成的“线”并不是曲线，只是近似于曲线，那么，为什么有资料上说“对原函数的导数中的积分变量取极限后就可以求得原函数所代表的曲线的精确长度”呢？

-------- 回答 --------

求曲线长度呢，这个里面涉及到的积分有些复杂，不如把问题先简单化，从最简单的有理数说起，0.99...当9的个数区域无穷的时候，按照极限的说法，就是1，但是我仍然可以咬文嚼字，怎么可能是1啊，这里面还差一个0.0...1呢！

所以我有必要说下极限是什么意思。函数极限就是当一个序列无限接近一个点的时候函数值与一个值得距离“无限小”（数列极限亦是如此），既然无限小，那么就可以认为我的极限就是它了，比如1/n，n→∞的时候肯定不为0，但是与0无限趋近，所以就能说他的极限是0.

回到这个问题上面来，曲线积分是把线段分割无限次然后累加起来。那么分割的次数n越多，就越精确，以至于可以达到“极限”的精度。一段曲线的长度肯定是一定的，那么这个极限肯定也是存在的。

那么到底什么是“精确长度”呢？

精确长度就是把曲线弄直，首尾连接起来的直线距离。前面说了我可以无限的分割这个曲线然后累加长度，那么我就可以无限的趋近“真实”的长度。这个里面就是极限思想。既然有极限，那么就跟实际值无限趋近，这就是0.99...与1的区别，如果说1-0.1^n是我求得式子的通项，1是精确值，那么我通过n的无穷大可以让这个数“近似等于”1，也就是lim (1-0.1^n)=1 (n→∞)，同理，曲线长度这里也会是“精确的”。

-------- 结语&补充 --------

凡知识都是一个逐步吸收逐步理解的过程，只有静下心来思考这个问题，不知不觉自己的觉悟会上升一个台阶。极限思想是一种很重要的数学思想，微积分其实就是一个极限的思想。

回到你的问题上面来，如果对图形面积进行无限分割，分割成很小的小块，在n很小的时候加起来的面积肯定与实际面积相差甚远，但是n只要无限的增大，那么这个误差会无限的减小，减小，这个极限是多少呢？是0.也就是说分割次数无限大的时候你算出的面积和的极限是与实际面积相等的。

不知说了这么多表达的是否清楚，如果有疑问请提出来，若满意还望点赞

追答

微积分思想是以直代曲，回答中写反了

追问

满意！

但是为什么不能用微积分得到椭圆的精确周长公式呢？

追答

当然可以得到啊

追问

百度说没有啊～

追答

百度不是数学家，我也不是，但我能用数学家给我们的解决办法来算

这个积分收敛，但是被积函数无原函数，只能用级数的方式对它进行逼近

追问

能求精确值吗？

追答

具体我没细算过，众多很多版本是说2pai b+4(a-b)

追问

谢谢你啦！

Answer 2

给你确定答案 可以 ，因为微分的极限是无穷大。所以很精确

追问

可是无穷大还差一点点啊～

追答

不是的，其实如果一个圆的半径是无穷大那他的边就是直线，标准的直线

追问

怎么会是直线呢？那不是个圆吗？

追答

直线的圆心在无穷远处

追问

是有道理哈～可是无穷似乎是个很虚无的东西啊～怎么理解呢？

追答

你可以限定一个容错空间&，对于任意小的&，都有可以使他满足的条件。这就说明，不管这个错误多小，都可以避免

嘿嘿，在高等数学里面可以严格证明。

你如果学了很让人蛋疼的高数，你就明白了。

挺难的，我现在也就记得这点东西了。

追问

谢谢啊～

Answer 3

必须是函数曲线包络的图形面积。

追问

是精确的吗？为什么有了无穷大就说是精确的呢？

追答

是非常精确的，理论上来说，误差为零。