Question

已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（

A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（-∞，-2）D．（-∞，-1）请问怎么看出有几个零点 你的解析我不太懂

Answer 1

当a=0时，f(x)=-3x^2+1有两个零点，不符
当a不等于0时，f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)，得极值点x=0, 2/a
当a>0时，f(0)=1为极大值；f(2/a)=-4/a^2+1为极小值；在(-∞,0)必有一个零点，不符题意；
当a<0时，f(0)=1为极大值；f(2/a)=-4/a^2+1为极小值；在(0,+∞)必有一个零点，为使f(x)在x<0不存在零点，则须-4/a^2+1>0,解得a<-2
因此选C。

Answer 2

哪里不明白可以追问

Answer 3

当a=0时，f(x)=-3x^2+1有两个零点，不符
当a不等于0时，f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)，得极值点x=0,
2/a
当a>0时，f(0)=1为极大值;f(2/a)=-4/a^2+1为极小值;在(-∞,0)必有一个零点，不符题意;
当a<0时，f(0)=1为极大值;f(2/a)=-4/a^2+1为极小值;在(0,+∞)必有一个零点，为使f(x)在x<0不存在零点，则须-4/a^2+1>0,解得a<-2
因此选C。