求10道高一数学函数难题。答案和题目是分开的。急急急
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1. 已知集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则这样的x的不同的值有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然数,且如果x∈M,则8-x∈M,则满足这样条件的集合M的个数为( )(注:自然数包括0) A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z| ≤2x<32}的真子集个数. 4. 在1~120的120个自然数中,素数与合数各有多少个? 5. 已知M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},且M=N,求q的值. 6. 在数理化三科竞赛辅导中,高一10、11、12班参加数学辅导的有168人,参加物理辅导的有187人,参加化学辅导的有155人,数学、物理两科都参加的有139人,数学、化学两科都参加的有127人,物理、化学两科都参加的有135人,数理化三科都参加的有102人,问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导? 解:根据容斥原理,至少参加一科辅导的学生人数为: 168+187+155-139-127-135+102=211 7. 求证:任意n+1个整数中,总有两个整数的差能被n整除。 提示:利用余数构造n个集合,根据抽屉原理,至少有两个整数放在一个集合里,它们同余,它们的差一定能被n整除. 8. 证明:若购买超过17千克(整数千克)的粮食,只用3千克和10千克的粮票支付,而无需要找补。 解:本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m+10n的形式,其中m,n都是非负整数.注意到:大于17的整数可以写成3k,3k+1,3k+2(k≥6)的形式,而3k+1=3(k-3)+10,3k+2=3(k-6)+10×2,因此它们都能够表示成3m+10n的形式,其中m,n都是非负整数. 9. 设A是数集,满足若a∈A,则∈A,且1?A. ⑴若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素. ⑵A能否为单元素集合?分别在实数集和复数集中进行讨论. ⑶若a∈A,证明:1- ∈A. 解:⑴2∈A ? -1∈A ? ∈A ? 2∈A ∴ A中至少还有两个元素:-1和 ⑵如果A为单元素集合,则a= 即a2-a+1=0 该方程无实数解,故在实数范围内,A不可能是单元素集 但该方程有两个虚数解:a= i 故在复数范围内,A可以是单元素集,A={ i}或A={ i} ⑶a∈A ? ∈A ? ∈A,即1- ∈A 10. 设S为集合{1,2,3,……,50}的一个子集,且S中任意两个元素之和不能被7整除,则S中元素最多有多少个? 将这50个数按照7的余数划分成7个集合 A0={7,14,21,28,35,42,49} A1={1,8,15,22,29,36,43,50} A2={2,9,16,23,30,37,44} A3={3,10,17,24,31,38,45} A4={4,11,18,25,32,39,46} A5={5,12,19,26,33,40,47} A6={6,13,20,27,34,41,48} 除去A0中的7个元素外,其余集合中的元素都不能被7整除,而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除,但是,A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话,这两个元素之和能够被7整除,因此,所求集合中的元素可以这样构成:A0中取一个,然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素,为了“最多”,必须取A1中的8个,然后可以取A2、A3中各7个元素,因此S中元素最多有1+8+7+7=23个
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