Question

高中竞赛几何题

高中竞赛几何题 在ΔABC中, 内心I与垂心H的距离等于内心I与外心O的距离的充要条件是:ΔABC三个内角成等差数列。

Answer 1

在ΔABC中, 内心I与垂心H的距离等于内心I与外心O的距离的充要条件是:ΔABC三个内角成等差数列。 证明 设s,R,r分别表示ΔABC半周长, 外接圆与内切圆半径. ΔABC三个内角成等差数列, 那么必有一角是60°.在ΔAIH中,由余弦定理可求得:IH^2=AI^2+AH^2-2AI*AH*cos[(B-C)/2]=bc(s-a)/s+4R^2*(cosA))^2-4R*√[bc(s-a)/s]*cosA*cos[(B-C)/2]=4R^2+4Rr+3r^2-s^2IO^2=AI^2+AO^2-2AI*AO*cos[(B-C)/2]=bc(s-a)/s+R^2-2R*√[bc(s-a)/s]*cos[(B-C)/2]=R^2-2Rr.因为 IH^2=IO^2 即 4R^2+4Rr+3r^2-s^2=R^2-2Rr所以有 s^2=3(R+r)^2 s=√3*(R+r) (1)根据三角形边角恒等式:s=2R*sinA+r*cot(A/2) (2)当ΔABC三个内角成等差数列, 设∠A=60°.则得(1)式 IH=HO.当IH=HO时,则得(1)式∠A=60°.