Question

高数，如图，微分方程线性判断，如图，求详细解答！谢谢！

Answer 1

线性的意思是运算对于加法和数乘封闭，就函数而言，f(a*x+b*y)=a*f(x)+b*f(y),函数f就是线性的，比如y=f(x)=3*x，f(2*m+4*n)=6*m+12*n=2*f(m)+4*f(n),当函数不是一次时，就不是线性了，比如y=x*2;线性方程则是指，如果x1，x2为方程的解，则a*x1+b*x2也是方程的解，微分是线性运算，对加法和数乘封闭，因此无论是几阶导都是线性的，但是一旦出现不是一次的项，则方程就不是线性的了。

追问

请问你最后写的“一旦出现不是一次的项则不是线性得了”这话是什么意思？我没理解透，是不是一个式子里有y^2及其以上次数的都不是线性得了？如果x^4y是一次的话那还是线性的？

追答

x^4y是指数函数了，肯定不是一次的，一次函数是就y的多项式而言的，如果是x*4y那么是一次的，就针对y来看，线性的定义就是运算对加法和数乘封闭，你学了高等代数就会理解了，不过我上面有处说错了，“如果x1，x2为方程的解，则a*x1+b*x2也是方程的解”这个要求微分方程还得是齐次的，那么判断方程的线性与否就把它写成右边等于0的形式，则左边相当于y的函数，这个函数如果对加法和数乘封闭那么方程就是线性的。