Question

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）

（1）当a，c异号时，求证：此方程定有两个不等实数根。
（2）当a=1，b=m，c=m-2，其中m为任意实数，试判断此方程根的情况。
（3）当a，b，c都为奇数时，试证明：此方程一定没有有理数。

Answer 1

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）
判别式是Δ=b²-4ac
(1)
当a，c异号时，ac＜0
所以Δ=b²-4ac＞0
所以此方程定有两个不等实数根
(2)
当a=1，b=m，c=m-2时
Δ=b²-4ac=m²-4*1*(m-2)=m²-4m+8=(m-2)²+4＞0
所以此方程定有两个不等实数根
(3)
用反证法
a,b,c是奇数，假设m/n是方程的根（设m/n是最简分数，即m,n没有公约数）
代入方程得a(m/n)²+b(m/n)+c=0
即am²+bmn+cn²=0
①当m,n都是奇数
那么奇+奇+奇=奇，不符合等于0
②当m是奇数，n是偶数
那么奇+偶+偶=奇，也不会等于0，不符合
③当m是偶数，n是奇数
那么偶+偶+奇=奇，也不会等于0，不符合

所以假设不成立，那么即是说a,b,c是奇数时，方程无有理数解。

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

Answer 2

（1）根的判别式△=b平方-4ac

因为ac异号，所以-ac为正。因为b平方为正，所以△大于0，即此方程定有两个不等实数根
（2）带入判别式△=b平方-4ac=m的平方-m+2 因为m的平方大于等于m，所以△大于0.即此方程定有两个不等实数根
（3）解:根据韦达定理
x1+x2=-a/b
x1x2=c/a
因a、b、c都奇数
所c/a奇数
x1x2奇数
因只有奇数与奇数相乘才得奇数
所x1与x2分别都奇数
x1+x2偶数.
过因a、b、c都奇数
-a/b奇数,与x1+x2偶数矛盾
所方程无整数根.