Question

如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=CD=5，AB=4，点P在BC上运动（点P不与点B、C重合），点E在

如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=CD=5，AB=4，点P在BC上运动（点P不与点B、C重合），点E在射线CD上，∠APB=∠EPC.
①当E在线段CD上时，设BP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;
②联结PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与△PCE相似，求BP的长.

Answer 1

图像省略不画了，自己作图哈！！解：AD∥BC，AB=CD=AD=5cm，即梯形ABCD是以AD、BC为两底，AB、CD为腰的等腰梯形 分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于F；由已知可得，
EF=AD=5cm，BE=CF=(BC-AD)/2=3cm，解直角三角形可求得AE=DF=4cm

（1）由已知，A、B、Q、P四点要构成四边形，
则可得点P在DA方向上运动的时间应满足，0<x<5 （秒）
当点P、Q分别在DA方向与BC方向上运动时，由已知可得，
四边形ABQP则是以AP和BQ为底，AB、PQ为腰的梯形，高AE=4cm、长度不变 四边形ABQP面积，y=1/2 (AP+BQ)*AE
又点P、Q开始运动后，AP=AB-1*x=(5-x)cm; BQ=2x cm
所以，y=1/2 [(5-x)+2x)*4=2(5+x)=5x+10 cm²（0<x<5）
结论：y=5x+10 （0<x<5）
（2）假设在移动底过程中，存在X使得PQ=AB=5
设PQ连线，刚好与垂直于两底时，所需要的时间为x，则可得，
1*x+2*x=BF=8，解得x=8/3；因此，若设在运动过程中，PM⊥BC，则可得，
①当0<x<8/3时，Rt△PQM中，要满足：PQ=5，PM=4，则QM=3
又根据几何图像知识，可得，QM=BF-DP-BQ=8-x-2x=3，解得x=5/3 秒；
②当8/3<x<5时，Rt△PQM中，仍要满足：PQ=5，PM=4，则QM=3
又根据几何图像知识，可得，QM=BQ-BM=BQ-AP-BE
又BQ=2x，AP=AD-DP=5-x，BE=3，所以得，QM=2x-(5-x)-3=3，解得x=11/3 秒；
结论：存在x使得PQ=AB，分别为x=5/3秒，或x=11/3秒。
综上所述得：（1）y=5x+10 （0<x<5）
（2）存在x使得PQ=AB，分别为x=5/3秒，或x=11/3秒。
望能帮助读者释疑！