Question

如图，抛物线：y＝ax×x＋bx＋4与x轴交与点A（－2，0）和B（4，0）与Y轴交与点C

Answer 1

如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D、E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
分析满意采纳喔，敢想敢做必成功——————————————————————————————————
（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标；
（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；易求得直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，由此得解；
（3）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标．
解答~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），

16a−4b+4＝0
4a+2b+4＝0

，
解得a＝−
1
2
，b=-1．
所以抛物线的解析式为y＝−
1
2
x2−x+4，顶点D的坐标为（-1，
9
2
）．

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，
因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，
连接BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，
即最小为：DH+CH=DH+HB=BD=
BM2+DM2
＝
3
2
13
；
而CD＝
12+(
9
2
−4)2

＝

5

2
；
∴△CDH的周长最小值为CD+DH+CH=

5
+3
13

2
；
设直线BD的解析式为y=k1x+b1，则

−k1+b1＝
9
2

2k1+b1＝0

解得：

k1＝−
3
2

b1＝3

；
所以直线BD的解析式为y=−
3
2
x+3；
由于BC=2
5
，CE=
1
2
BC=
5
，Rt△CEG∽Rt△COB，
得CE：CO=CG：CB，
所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5）；
同理可求得直线EF的解析式为y=
1
2
x+
3
2
；
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（
3
4
，
15
8
）；

（3）设K（t，−
1
2
t2−t+4），-4＜t＜2、过K作x轴的垂线交EF于N；
则KN=yK-yN=−
1
2
t2−t+4-（
1
2
t+
3
2
）=-
1
2
t2−
3
2
t+
5
2
；
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=
1
2
KN（t+3）+
1
2
KN（1-t）=2KN=-t2-3t+5=-（t+
3
2
）2+
29
4
；
即当t=-
3
2
时，△EFK的面积最大，最大面积为
29
4
，此时K（-
3
2
，
35
8
）．
如果还有疑问——

http://www.jyeoo.com/wenda/askinfo/de0369c3-8ad1-485c-9524-8b77926dbc23
谢谢~~~~

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