Question

线性代数的四阶行列式

2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
求详细过程

Answer 1

（1）将2，3,4列都加到第一列，再将第一列的公因式5提出。第一列都变为1。
（2）将第一列的-1倍加到第2,3,4列，得下三角形行列式，其主对角线的元素为1,1,1,1
（5）用公因式5乘以主对角线的元素的乘积，得行列式的值为5.

Answer 2

2　　　1　　－5　　　1
1　　－3　　　0　　－6
0　　　2　　－1　　　2
1　　　4　　－7　　　6

＝2　　　1　　－5　　　1　　　［将上述行列式的第4行乘以（－1）后加到第2行中］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　　2　　－1　　　2
　1　　　4　　－7　　　6

＝0　　－7　　　9　　－11　　　［将上述行列式的第4行乘以（－2）后加到第1行中］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　　2　　－1　　　2
　1　　　4　　－7　　　6

＝1　　　4　　－7　　　6　　　［将上述行列式的第1行与第4行对调，
　0　　　2　　－1　　　2　　　　再将第2行与第3行对调］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　－7　　　9　　－11

＝　2　　－1　　2　　　　　　　［等于上述行列式第1行第1列的余子式］

　－7　　　7　－12
　－7　　　9　－11

＝1　　－1　　2　　　　　　　［将上述行列式的第2列加到第1列中］

　0　　　7　－12
　2　　　9　－11

＝1　　－1　　　2　　　　　　［将上述行列式的第1行乘以（－2）后加到第3行中］

　0　　　7　　－12
　0　　　11　 －15

＝7　　 －12　　　　　　　　 ［等于上述行列式第1行第1列的余子式］

　11　　－15

＝7×（－15）－11×（－12）＝－105＋132＝27

Answer 3

2　　　1　　－5　　　1
1　　－3　　　0　　－6
0　　　2　　－1　　　2
1　　　4　　－7　　　6

＝2　　　1　　－5　　　1　　　［将上述行列式的第4行乘以（－1）后加到第2行中］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　　2　　－1　　　2
　1　　　4　　－7　　　6

＝0　　－7　　　9　　－11　　　［将上述行列式的第4行乘以（－2）后加到第1行中］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　　2　　－1　　　2
　1　　　4　　－7　　　6

＝1　　　4　　－7　　　6　　　［将上述行列式的第1行与第4行对调，
　0　　　2　　－1　　　2　　　　再将第2行与第3行对调］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　－7　　　9　　－11

＝　2　　－1　　2　　　　　　　［等于上述行列式第1行第1列的余子式］

　－7　　　7　－12
　－7　　　9　－11

＝1　　－1　　2　　　　　　　［将上述行列式的第2列加到第1列中］

　0　　　7　－12
　2　　　9　－11

＝1　　－1　　　2　　　　　　［将上述行列式的第1行乘以（－2）后加到第3行中］

　0　　　7　　－12
　0　　　11　 －15

＝7　　 －12　　　　　　　　 ［等于上述行列式第1行第1列的余子式］

　11　　－15

＝7×（－15）－11×（－12）＝－105＋132＝27

Answer 4

2　　　1　　－5　　　1
1　　－3　　　0　　－6
0　　　2　　－1　　　2
1　　　4　　－7　　　6

＝2　　　1　　－5　　　1　　　［将上述行列式的第4行乘以（－1）后加到第2行中］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　　2　　－1　　　2
　1　　　4　　－7　　　6

＝0　　－7　　　9　　－11　　　［将上述行列式的第4行乘以（－2）后加到第1行中］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　　2　　－1　　　2
　1　　　4　　－7　　　6

＝1　　　4　　－7　　　6　　　［将上述行列式的第1行与第4行对调，
　0　　　2　　－1　　　2　　　　再将第2行与第3行对调］
　0　　－7　　　7　　－12
　0　　－7　　　9　　－11

＝　2　　－1　　2　　　　　　　［等于上述行列式第1行第1列的余子式］

　－7　　　7　－12
　－7　　　9　－11

＝1　　－1　　2　　　　　　　［将上述行列式的第2列加到第1列中］

　0　　　7　－12
　2　　　9　－11

＝1　　－1　　　2　　　　　　［将上述行列式的第1行乘以（－2）后加到第3行中］

　0　　　7　　－12
　0　　　11　 －15

＝7　　 －12　　　　　　　　 ［等于上述行列式第1行第1列的余子式］

　11　　－15

＝7×（－15）－11×（－12）＝－105＋132＝27