Question

利用泰勒公式求极限时，如何确定泰勒公式展开到第几阶

Answer 1

通常，需要观察求极限的函数的分子与分母，如果只需要展开分子，那应该不低于分母的最高次幂。反之亦然。

如果分子与分母都需要展开，这种情形一般会有部分项跟其他加减关系的函数可能有抵消，那就展开到分子分母可比较为止。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

Answer 2

一般展开到，计算时可忽略的高阶无穷小那阶就可以了。比方说分母有个x^2,你分子展开到x^2后面是o(x^2)就可以了，这样再计算的时候后面的高阶无穷小趋于零，不影响计算结果。这一阶就可以了。