Question

如图已知AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过C点作DC⊥OA，交AB于点D。（1）求证：∠CDO=∠BDO；（

如图已知AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过C点作DC⊥OA，交AB于点D。（1）求证：∠CDO=∠BDO；（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求CD的长；（3）求阴影部分的面积。

Answer 1

解：（1）∵AB切⊙O于点B， ∴OB⊥AB，即∠B=90°， 又∵DC⊥OA， ∴∠OCD=90°， 在Rt△COD与Rt△BOD中， ∵OD=OD，OB=OC， ∴Rt△COD≌Rt△BOD（HL） ∴∠CDO=∠BDO； （2）在Rt△ABO中，∠A=30°，OB=4， ∴OA=8， ∴AC=OA-OC=8-4=4， 在Rt△ACD中，tan∠A= ， 又∠A=30°，AC=4， ∴CD=AC·tan30°= ； （3）由（2）知AC=OC=4，DC⊥OA， ∴DC为OA的垂直平分线 ∴DO=DA，∠DOC=∠A=30° 由（1）知，∴Rt△COD≌Rt△BOD ∴∠BOC=2∠DOC=60°， ∴ 在Rt△AOB中，tan∠A= ，∠A=30°，OB=4， ∴AB= ∴ ， ∴ ∴ 。