Question

如图所示，在?ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于 F点，连接EF．（1）延长

如图所示，在?ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于 F点，连接EF．（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．

Answer 1

（1）与线段EM一定相等的线段有2条，DE和BF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵AE、DE分别平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．
∴ED=EM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∵AE、CF是角平分线．
∴∠DAE=∠BCF，
同理∠ADE=∠CBF，AD=BC．
∴△ADE≌△CBF
∴DE=BF，ED=EM．
∴BF=EM．

（2）EF+BC=AB．
由（1）易证∠AMD=∠ABF，
∴EM ∥ BF，EM=BF．
∴四边形EFBM是平行四边形．
∴EF=MB，BC=AD=AM．
∴EF+BC=AB．

（3）EF+AB=BC．
同（2）易知EFBM是平行四边形，
故BM=EF，BC=AD=AM，
∴AD=AM．
∴EF+AB=BC．