Question

已知-1≤a≤1，解关于x的不等式：ax 2 -2x+a＞0

已知-1≤a≤1，解关于x的不等式：ax 2 -2x+a＞0．

Answer 1

①当a=0时，原式化为-2x＞0，即x＜0；a≠0时，△=（-2） 2 -4a 2 =4（1+a）（1-a）…（1分） ②当a=-1时，△=0，原式化为-（x+1） 2 ＞0，即 （x+1） 2 ＜0，∴x∈?…（2分） ③当-1＜a＜0时，△＞0，方程ax 2 -2x+a＞0的根为x 1、2 = 2± 4(1- a 2 ) 2a = 1± (1- a 2 ) a ， ∴ 1+ (1- a 2 ) a ＜x＜ 1- (1- a 2 ) a …（6分） ④当0＜a＜1时，结合③知，x＜ 1- (1- a 2 ) a 或x＞ 1+ (1- a 2 ) a …（10分） ⑤当a=1时，原式化为x 2 -2x+1＞0，即（x-1） 2 ＞0，∴x∈R，且x≠1…（11分） 总之，原不等式的解集为：当a=-1时，x∈?；当-1＜a＜0时，x∈（ 1+ (1- a 2 ) a ， 1- (1- a 2 ) a ）； 当a=0时，x∈（-∞，0）；当0＜a＜1时，x∈（-∞， 1- (1- a 2 ) a ）∪（ 1+ (1- a 2 ) a ，+∞）； 当a=1时，{x|x∈R，且x≠1}…（12分）