Question

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x 2 -2y 2 =1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数（Ⅰ）求椭圆M的方程

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x 2 -2y 2 =1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

Answer 1

（Ⅰ） 设椭圆M的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 则有 a 2 - b 2 =1 1 a = 2 2 解得 a= 2 b=1 ， ∴椭圆M的方程为 x 2 2 + y 2 =1 （Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点 当k存在时，设PQ：y=k（x-2） 代入 x 2 2 + y 2 =1 整理得：（1+2k 2 ）x 2 -8k 2 x+8k 2 -2=0 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ），则有 x 1 + x 2 = 8 k 2 1+2 k 2 ， x 1 x 2 = 8 k 2 -2 1+2 k 2 ∴ y 1 y 2 = 2 k 2 1+2 k 2 ∵OP⊥OQ， ∴y 1 y 2 +x 1 x 2 =0即 10 k 2 -2 1+2 k 2 =0 解得： k=± 5 5 所求直线PQ的方程为 y=± 5 5 (x-2)