Question

已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数

已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0和x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．（3）是否存在k的值使方程x2-4x+k=0的两根x1、x2满足x1x2+x2x1＝6？若存在，求出k的值；不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）²-4k＞0，
∴k＜4；

（2）∵k＜4，
∴k的最大整数值是3，
∴一元二次方程x²-4x+k=0可化为x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∵一元二次方程x²-4x+k=0和x²+mx-1=0有一个相同的根，
∴当相同的实数根是3时，
3²+3m-1=0，解得m=-

8

3

；
当相同的实数根是1时，
1²+m-1=0，解得m=0．
故m=-

8

3

或0；

（3）设方程x²-4x+k=0的两根x₁、x₂，则x₁?x₂=k；x₁+x₂=4，
假设x₁、x₂满足

x1

x2

+

x2

x1

＝6，则

x12+x22

x1x2

=6，即

(x1 +x2)2?2x1x2

x1x2

=6，
把x₁?x₂=k；x₁+x₂=4代入得，

16?2k

k

=6，解得k=2，
由（1）可知，k＜4，故k=2符合条件，
故存在符合条件的k的值，此时k=2．