Question

若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是______

若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是______．

Answer 1

问题等价于：当0≤x≤1时，x|x-a|+b＜0恒成立，当x=0时a取任意实数不等式恒成立 也即x+ b x ＜a＜x- b x 恒成立 令g（x）=x+ b x 在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g max （x）=g（1）=1+b（10分） 令h（x）=x- b x ，则h（x）在（0， -b ]上单调递减，[ -b ，+∞）单调递增 1°当b＜-1时h（x）=x- b x 在0＜x≤1上单调递减 ∴a＜h min （x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b． 2°当-1≤b＜2 2 -3时，h（x）=x- b x ≥2 -b ， ∴a＜h min （x）=2 -b ，∴1+b＜a＜2 -b ． 故可知 b＜-3+2 2 时，存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立 故答案为： b＜-3+2 2 ．