Question

甲乙两队进行某决赛，每次比赛一场，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束，因

甲乙两队进行某决赛，每次比赛一场，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为而 1 2 ，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．（I）若组织者在此次比赛中获得的门票收入恰好为300万元，问此次决赛共比赛了多少场？（Ⅱ）求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？

Answer 1

（I）依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列， 设此数列为{a n }，则易知a 1 =40，a n =10n+30 ∴ S n = n( a 1 + a n ) 2 = n(10n+70) 2 =300解得n=5或n=-12(舍去) ∴此次决赛共比赛了5场． （Ⅱ）由S n ≥390得n 2 +7n≥78，∴n≥6 ∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场． ①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2：3，且第6场比赛为领先一场的 球队获胜，其概率 P(6)= C 35 ×( 1 2 ) 5 = 5 16 ； ②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3：3，则概率 P(7)= C 36 ×( 1 2 ) 6 = 5 16 ∴门票收入不少于390万元的概率为 P=P(6)+P(7)= 10 16 = 5 8 =0.625