Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示，(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求BD与平面ABC所成角θ的正弦值．

Answer 1

解：(1)由于AC=BC= ，从而AC 2 +BC 2 =AB 2 ，故AC⊥BC， 因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC 平面ABC， 从而BC⊥平面ACD。 (2)作DH⊥AC于H，易得H为AC中点，连接HB， 因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，且DH 平面ADC， 所以DH⊥平面ABC， 所以∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ， 在Rt△BCH中， ， 在Rt△BHD中， ， 所以 。