Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）=-f（x）+f（1）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）=-f（x）+f（1）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称，则f（2014）=（　　）A．3B．2014C．0D．-2014

Answer 1

∵函数f（x+1）的图象关于（-1，0）对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=0
∵f（x+2）=-f（x）+f（1）
令x=-1可得
f（1）=-f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
从而可得f（x+2）=-f（x）=f（-x），
即函数是以4为周期的周期函数
∴f（2014）=f（503×2）=f（2）=-f（0）=0
故选：C．