Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于点E．（1）

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于点E．（1）求证：AC是∠EAB的平分线；（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分线．

（2）解：∵CD是⊙O的切线，
∴DC²=DB?DA，即4²=2?DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴

OC

AE

＝

DO

DA

．
即

3

AE

＝

5

8

．
解得AE=

24

5

．
∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴

CB

AC

＝

DC

DA

=

4

8

=

1

2

．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC²+BC²=AB²，即（2BC）²+（BC）²=6²
解得BC=

6 5

5

．