Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|，则函数f（x）的最小值为______

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|，则函数f（x）的最小值为______．

Answer 1

解：函数f（x）=|2x+1|-|x-4|=

?x?5  ，  x＜? 1 2 3x?3 ，  ? 1 2 ≤x＜4 x+5  ，  x≥4

，如图所示：
故当x=-0.5时，f（x）取得最小值等于-

9

2

，
故答案为-

9

2

．

Answer 2

设函数f(x)=|2x+1|-|x-4| (1)解不等式f(x)>2 （2）求函数y=f(x)的最小值
(1)解析：∵函数f(x)=|2x+1|-|x-4|
将此函数写成分段形式：
当x<-1/2时，f(x)=-2x-1+x-4=-x-5, 函数单调减
当-1/2<=x<=4时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3==> f(-1/2)=-9/2, f(4)=9，函数单调增
当x>4时，f(x)=2x+1-x+4=x+5，函数单调增
f(x)>2?3x-3>2==>x>5/3
∴f(x)>2的解集为x>5/3
(2)由（1）知在x=-1/2时，函数f(x)取最小值f(-1/2)=-9/2