Question

在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ） 求等比数列{an}的通项公式；

在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ） 求等比数列{an}的通项公式；（Ⅱ） 若数列{bn}满足bn=11-2log2an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，a_n＞0
因为2a₁，a₃，3a₂成等差数列，所以2a₁+3a₂=2a₃，
即2a1+3a1q＝2a1q2，
所以2q²-3q-2=0，解得q=2或q＝?

1

2

（舍去），（4分）
又a₁=2，所以数列{a_n}的通项公式an＝2n．（6分）
（Ⅱ）由题意得，b_n=11-2log₂a_n=11-2n，
则b₁=9，且b_n+1-b_n=-2，
故数列{b_n}是首项为9，公差为-2的等差数列，
所以Tn＝

n(9+11?2n)

2

＝?n2+10n=-（n-5）²+25，（10分）
所以当n=5时，T_n的最大值为25．（12分）