Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直线梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AC=AB=2，G

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直线梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AC=AB=2，G是△PAC的重心，E为PB中点，F在线段BC上，且CF=2FB．（1）证明：FG∥平面PAB；（2）证明：FG⊥AC；（3）求二面角P-CD-A的一个三角函数值，使得FG⊥平面AEC

Answer 1

解答：证明（I）连接CG延长交PA于M，连BM，
∵G为△PAC的重心，∴

CG

GM

＝2：1又∵

CF

FB

＝2：1，∴FG∥BM．
又∵BM?平面PAB，
∴FG?平面PAB，
∴FG∥平面PAB（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM．
由（I）知FG∥BM，∴FG⊥AC（7分）
（III）连EM，由（II）知FG⊥AC，∴FG⊥平面AEC的充要条件是：
FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=

1

2

AB＝1，
设EA∩BM=H，则EH=

1

2

HA，
设PA=h，则EA＝

1

2

PB＝

1

2

4+h2

，EH＝

1

3

EA＝

1

6

4+h2

，
∵Rt△AME～Rt△MHE，
∴EM²=EH?EA．
∴12＝

1

2

4+h2

?

1

6

4+h2

，
∴h＝2

2

，即PA＝2

2

(9分)
∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥CD，
∴PD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，此时tan∠PDA＝

PA

AD

＝

2 2

2

＝2，
∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，PG⊥平面AEC（14分）