Question

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；（2）若函数y=f（

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=

x2?2x?3(x≥4) ?x2+6x?3(x＜4)

=

(x?1)2?4(x≥4) ?(x?3)2+6(x＜4)

（ 6分）
∵x∈[1，5]
∴f（x）在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，在[4，5]上递增．
∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
∴f（x）的值域为[2，12]（ 10分）
（2）f（x）=x|x-m|+2x-3=

x2?(m?2)x?3(x≥m) ?x2+(m+2)x?3(x＜m)

=

(x? m?2 2 )2?3?( m?2 2 )2(x≥m) ?(x? m+2 2 )2?3+( m+2 2 )2(x＜m)

因为f（x）在R上为增函数，所以

m?2 2 ≤ m m+2 2 ≥ m

-2≤m≤2．  （15分）