Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M

如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

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Answer 1

解：（1）证明：由题意可知：∵直线DE是线段AC的垂直平分线， ∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°； 且AD=CD、AO=CO， 又∵CE∥AB， ∴∠1=∠2， ∴△AOD≌△COE， ∴OD=OE， ∴四边形ADCE是菱形； （2）解：当∠ACB=90°时，OD∥BC， 即有△ADO∽△ABC， ∴ ， 又∵BC=6，∴OD=3， 又∵△ADC的周长为18 ，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO， ∴OD= =3， 可得AO=4， ∴DE=6，AC=8， ∴S= AC·DE= ×8×6=24．