Question

已知点P是抛物线y 2 =2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点 A( 7 2 ，4) ，则|PA|+|PM|的最小值

已知点P是抛物线y 2 =2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点 A( 7 2 ，4) ，则|PA|+|PM|的最小值是（　　） A．5 B． 9 2 C．4 D．AD

Answer 1

依题意可知焦点F（ 1 2 ，0），准线 x=- 1 2 ，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH| |PM|=|PH|- 1 2 =|PA|- 1 2 |PM|+|PA|=|PF|+|PA|- 1 2 ，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可． 由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，① 设直线FA与 抛物线交于P 0 点，可计算得P 0 （3， 9 4 ），另一交点（- 1 3 ， 1 18 ）舍去． 当P重合于P 0 时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|= 19 4 ． 则所求为|PM|+|PA|= 19 4 - 1 4 = 9 2 ． 故选B．