Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD

如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．（1）求二面角E-AB-D的大小；（2）求四面体ABDE的表面积．

Answer 1

（1）在△EBD中， ∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4， ∴ BD= A B 2 +A D 2 -2AB?ADcos∠DAB =2 3 ． ∴AB 2 +BD 2 =AD 2 ，∴AB⊥BD． ∵平面EBD⊥平面ABD，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE． ∴∠DBE即为二面角E-AB-D的平面角． 又∵CD⊥BD，∴ED⊥BD，而 BD=2 3 ， DE=DC=AB=2， ∴在Rt△BDE中，cos ∠DBE= BD BE = 3 2 ， ∴∠DBE=30°． （2）由（1）知：AB⊥BD， ∴ S △ABD = 1 2 AB?BD=2 3 ． 又∵S △BDC = S △ABD =2 3 ，而△EBD即为△BDC， ∴ S △BDE =2 3 ． 又∵AB⊥BE，BE=BC=AD=4，∴ S △ABE = 1 2 AB?BE=4 ． 又DE⊥AD，∴ S △ADE = 1 2 AD?DE=4 ． 故四面体ABDE的表面积为 8+4 3 ．