Question

设F 1 ，F 2 是双曲线x 2 - y 2 4 =1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（

设F 1 ，F 2 是双曲线x 2 - y 2 4 =1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（ OP + O F 2 ）? F 2 P =0（O为坐标原点），且|PF 1 |=λ|PF 2 |，则λ的值为______．

Answer 1

由双曲线方程 x 2 - y 2 4 =1 可得 a=1，b=2，c= 5 ， ∴ | O F 2 |= 5 又∵ ( OP + O F 2 )? F 2 P =0 ∴ ( OP + O F 2 )?( OP - O F 2 )=0 ∴ OP 2 - O F 2 2 =0 ∴ | O P |=| O F 2 |= 5 故△PF 1 F 2 是以P为直角的直角三角形 又∵P是双曲线右支上的点 ∴|PF 1 |＞|PF 2 |， ∴|PF 1 |=|PF 2 |+2， 由勾股定理可得|PF 1 | 2 +（|PF 2 |+2） 2 =4C 2 =20 解得|PF 2 |=2，|PF 1 |=4 故λ=2 故答案为2