Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，设y=f（x）（Ⅰ）求证：tan（α+β）=2tanα；　　　（

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，设y=f（x）（Ⅰ）求证：tan（α+β）=2tanα；　　　（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）已知数列a n 满足 a n = 1 f(n) ，问数列是否存在最小项，若有求出此项，若无说明理由？

Answer 1

（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin（α+β+α）=3sin（α+β-α）， ∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，∴sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα， ∴tan（α+β）=2tanα． （Ⅱ） 设tanα=x，tanβ=y，由（Ⅰ）可得 x+y 1-xy =2x，∴y= x 1+2 x 2 ，即 f（x）= x 1+2 x 2 ． （Ⅲ）∵数列a n 满足 a n = 1 f(n) ，∴a n = 1+2 n 2 n = 1 n +2n≥2 2 ，当且仅当 1 n =2n，即 n= 2 2  时取等号． 由于n∈N + ，故数列不存在最小项．