Question

如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN

如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN为矩形．

Answer 1

证明：∵ABCD为平行四边形，
∴AD平行且等于BC，
又∵M为AD的中点，N为BC的中点，
∴MD平行且等于BN，
∴BNDM为平行四边形，
∴BM∥ND，
同理AN∥MC，
∴四边形PMQN为平行四边形，（5分）
连接MN，
∵AM平行且等于BN，
∴四边形ABNM为平行四边形，
又∵AD=2AB，M为AD中点，
∴BN=AB，
∴四边形ABNM为菱形，
∴AN⊥BM，
∴平行四边形PMQN为矩形．（10分）

Answer 2

证明：连接MN ,PQ，交于点O
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB=CD
AD=BC
AD平行BC
AB平行CD
因为M ,N分别是AD ,BC的中点
所以AM=DM=1/2AD
BN=CN=1/2BC
因为AD=2AB
所以AM=DM=BN=CN=AB=CD
所以四边形ABNM ,四边形AMCN，四边形BMDN是平行四边形
所以AN平行CM
BM平行DN
所以四边形PMQN是平行四边形
因为AB=AM（已证）
所以四边形ABNM是菱形
所以角MPN=90度
所以四边形PMQN是矩形