Question

设f（x）具有二阶连续导数，且f′（0）=0，limx→0f″(x)|x|＝1，则（　　）A．f（0）是f（x）的极大值B

设f（x）具有二阶连续导数，且f′（0）=0，limx→0f″(x)|x|＝1，则（　　）A．f（0）是f（x）的极大值B．f（0）是f（x）的极小值C．（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点D．f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y=f（x）的拐点

Answer 1

首先，由 f′（0）=0 可知，x=0 为 f（x） 的一个驻点，为判断其是否为极值点，仅需判断 f″（x） 的符号．
因为

lim

x→0

f″(x)

|x|

＝1，由等价无穷小的概念可知，

lim

x→0

f″(x)＝0．
因为f（x）具有二阶连续导数，且

lim

x→0

f″(x)

|x|

＝1＞0，由极限的保号性，存在δ＞0，对于任意 0＜|x|＜δ，都有

f″(x)

|x|

＞0，从而有 f″（x）＞0．
从而，对于任意x∈[-δ，δ]，都有 f″（x）≥0．由函数极值的判定定理可知，f（0）是极小值． 故 （B）正确，排除（A），（D）．
由于 f″（x）≥0，故由拐点的定义可知，（0，f（0））不是 y=f（x） 的拐点，排除（C）．
正确答案为（B）．