Question

（2014?高港区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是边CD上一个动点（点E与点C、点D不重合），连

（2014?高港区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是边CD上一个动点（点E与点C、点D不重合），连接AE，作AF⊥AE，交直线CB于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式，并且直接写出x的取值范围；（2）如果△AEF∽△DEA，试证明：BF=AD；（3）当E点在CD上运动时，△AEG能否成为以EG为一腰的等腰三角形？如果能，试求出DE的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=6．
即得∠D=∠ABF．
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAD=90°．
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF．
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF．
∴

AD

AB

＝

DE

EF

∵DE=x，BF=y，
∴

3

4

＝

x

y

，
∴y关于x的函数解析式是y=

4

3

x，0＜x＜4．

（2）∵△AEF∽△DEA，
∴∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，∠FAE=∠DEA，
由（1）知道△DAE∽△BAF
∴∠FAG=∠AFG，∠GAE=∠GEA，
∴GF=GA=GE，
在矩形ABCD中，AB∥CD，

FG

GE

＝

FB

BC

=1．
即得FB=BC．
又∵AD=BC，
∴FB=AD；

（3）当E点在CD上运动时，△AEG能成为以EG为一腰的等腰三角形．
（a）当GE=GA时，∠GAE=∠GEA，
∠GAE+∠FAG=90°，
∠GEA+∠AFG=90°，
∴∠AFG=∠FAG，所以GA=GF，
所以G是FE的中点，
由（2）知道FB=BC=6，
y关于x的函数解析式是y=

4

3

x，
∴DE=

9

2

．
（b）当EA=EG时，△AFB∽△FGB，
GB=

2

9

x²，
∵GB∥EC，
∴CE=5，
∴DE=3．