Question

若矩阵A的秩为r，则A的r-1阶子式不会全为零．______．（判断对错

若矩阵A的秩为r，则A的r-1阶子式不会全为零．______．（判断对错）

Answer 1

正确，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

由矩阵A的秩为r，知矩阵A中至少存在一个r阶的子式不为零，所有的r+1阶（如果存在的话）子式一定全为零，而由行列式按行或按列展开的性质，知任意A的r阶的子式都可以由r-1阶的子式表示。因此，如果A的r-1阶子式全为零，则Ar阶的子式必定全为零，这与矩阵A的秩为r的定义矛盾。

矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。

扩展资料：

设A为一个 m×n 的矩阵，k为一个介于1和m之间的整数，并且m≤n。A的一个k阶子式是在A中选取k行k列之后所产生的k个交点组成的方块矩阵的行列式。

A的一个k阶余子式是A去掉了m−k行与n−k列之后得到的k×k矩阵的行列式。

如果m=n，那么A关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式，简称为A的k阶余子式。

n×n的方块矩阵A关于第i行第j列的余子式Mij是指A中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为A的（i，j）余子式。

参考资料来源：百度百科——矩阵

Answer 2

由矩阵A的秩为r，知
矩阵A中至少存在一个r阶的子式不为零，所有的r+1阶（如果存在的话）子式一定全为零
而由行列式按行或按列展开的性质，知
任意A的r阶的子式都可以由r-1阶的子式表示
因此，如果A的r-1阶子式全为零，则Ar阶的子式必定全为零
这与矩阵A的秩为r的定义矛盾
故判断为 对．

Answer 3

Answer 4

正确，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
若矩阵的秩为r，则说明矩阵可以化为秩为r的最简形势，且他的所有r+1阶都为0，矩阵的秩为r代表矩阵不为0的最小秩为r。