Question

P（2，1）在圆x 2 +y 2 -8x-4y+11=0内，过点P做圆的割线l，交圆于A、B两点．（1）若|AB|最短，求最短长度

P（2，1）在圆x 2 +y 2 -8x-4y+11=0内，过点P做圆的割线l，交圆于A、B两点．（1）若|AB|最短，求最短长度及此时直线l的方程；（2）若 |AB|=2 5 ，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由圆方程x 2 +y 2 -8x-4y+11=0，可得圆心C（4，2），半径r=3 当l⊥CP时，弦AB长最短 此时k cp = 1-0 2-0 = 1 2 ，可得k l = -1 k OP =-2 ∴直线l的方程为y-1=-2（x-2）即2x+y-5=0 ∵圆心C到l的距离d= |8+2-5| 5 = 5 ∴|AB|=2 r 2 - d 2 =2 9-5 =4．…（7分） （2）∵ |AB|=2 5 ， ∴圆心到直线的距离d= r 2 - 1 4 |AB | 2 = 9-5 =2 当l的斜率存在时，设l为方程为y-1=k（x-2） 可得 |2k-1| k 2 +1 =2，解之得k= - 3 4 ，可得直线l方程为3x+4y-10=0 当l的斜率不存在时，l方程为x=2也符合题意 综上所述，直线l的方程是x=2或3x+4y-10=0（14分）