Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C-PBD的高．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD． 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD． 又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．…（6分） （Ⅱ）∵V C-PBD =V P-CBD ，设棱锥C-PBD的高为h， ∴ 1 3 h? S △PBD = 1 3 PA? S △CBD    …（8分） ∵PA=AB，AB=2，∠BAD=60°， ∴PB=PD= 2 2 ，BD=2 ∴ S △PBD = 1 2 BD? P B 2 - ( 1 2 BD) 2 = 7 ， S △CBD = 1 2 BD? 1 2 AC= 3 ，…（10分） ∴ h= PA? S △CBD S △PBD = 2 21 7 ． 即棱锥C-PBD的高为 2 21 7 ．…（12分）