Question

如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 1 2 x+b(b＞0) 分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作

如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 1 2 x+b(b＞0) 分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端 点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求点P的坐标．（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．（4）若在直线 y=- 1 2 x+b(b＞0) 上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

（1）作PK⊥MN于K，则 PK=KM= 1 2 NM=2 ． ∴KO=6， ∴P（6，2）； （2）∵点P关于x轴的对称点为P′， ∴P′点的坐标为：（6，-2）， ∵M（4，0），N（8，0）， ∴代入二次函数解析式得出：y=a（x-4）（x-8）， ∴-2=a（6-4）（6-8）， ∴a= 1 2 ， ∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为：y= 1 2 （x-4）（x-8）； （3）当0＜b≤2时，如图，S=0． 当2＜b≤3时，如图， 设AC交PM于H．AM=HA=2b-4． ∴ S= 1 2 (2b-4 ) 2 ． 即S=2（b-2） 2 或S=2b 2 -8b+8． 当3＜b＜4时，如图， 设AC交PN于H．NA=HA=8-2b． ∴S=-2（4-b） 2 +4或S=-2b 2 +16b-28． 当b≥4时，如图， S=4． （4） 0＜b≤ 5 +1 ．（提示：以OM为直径作圆，当直线 y=- 1 2 x+b(b＞0) 与此圆相切时， b= 5 +1 ．）