Question

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。（1）试说明四边形AECF是平行四边

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）。

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC∥AD ∴AE∥CF ∴∠OAE=∠OCF ∵点O是AC的中点 ∴OA=OC 在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF ∴△AOE≌△COF ∴AE=CF ∵AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵四边形AECF是平行四边形 ∴EF与AC互相平分 ∵EF与AC垂直 ∴四边形AECF是菱形； （3）当EF平分AC且等于AC时，四边形AECF是矩形。