Question

已知函数 f(x)= log 1 2 (sinx-cosx) ．（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；

已知函数 f(x)= log 1 2 (sinx-cosx) ．（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

Answer 1

（1）由题意得sinx-cosx＞0即 2 sin(x- π 4 )＞0 ，从而得 2kπ＜x- π 4 ＜ 2kπ+π ， ∴函数的定义域为 (2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ) （k∈Z）． ∵ 0＜sin(x- π 4 )≤1 ， 故0＜sinx-cosx≤ 2 ，所以函数f（x）的值域是 [- 1 2 ，+∞) ． （2）∵ (sinx-cosx)= 2 sin(x- π 4 ) 令 2kπ- π 2 ≤x- π 4 ≤2kπ+ π 2 解得 2kπ- π 4 ≤x≤2kπ+ 3π 4 令 2kπ+ π 2 ≤x- π 4 ≤2kπ+ 3π 2 解得 2kπ+ 3π 4 ≤x≤2kπ+ 7π 4 结合函数的定义域知 单调递增区间是 [2kπ+ 3π 4 ，2kπ+ 5π 4 ) （k∈Z）， 单调递减区间是 (2kπ+ π 4 ，2kπ+ 3π 4 ) （k∈Z）． （3）因为f（x）定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， 故f（x）是非奇非偶函数． （4）∵ f(x+2π)= log 1 2 [(sin(x+2π)-cos(x+2π)] =f（x）， ∴函数f（x）的最小正周期T=2π．