Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC= ， AD=1，CD=3，PD= 。（1）证明△

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC= ， AD=1，CD=3，PD= 。（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值。

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Answer 1

解：（1） 以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz则 ， ， 于是 ， 因为 ∴ ⊥ ，∴BP⊥BC ∴△PBC为直角三角形 （2） 由（1）可得， 于是 ， 设平面PBC的法向量为 则 即 取y=1，则 ， ∴平面PBC的一个法向量为 设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则 , ∴直线AP与平面PBC所成角的大小为