Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3an+2n．（1）求证：数列{an-2}是等比数列；（2）求数列{an2×3n}的前n

已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3an+2n．（1）求证：数列{an-2}是等比数列；（2）求数列{an2×3n}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由S_n=3a_n+2n，得S_n-1=3a_n-1+2（n-1）（n≥2），
两式相减得a_n=3a_n-3a_n-1+2，即a_n=

3

2

a_n-1-1，
∴a_n-2=

3

2

（a_n-1-2），
又∵S₁=a₁=3a₁+2，∴a₁=-1，a₁-2=-3，
∴数列{a_n-2}是首项为-3，公比为

3

2

的等比数列．
（2）由（1）得a_n-2=-3×(

3

2

)n?1，∴a_n=2-3×(

3

2

)n?1，
∴

an

2×3n

=

1

3n

-

1

2n

，
∴T_n=

1 3 (1? 1 3n )

1? 1 3

-

1 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

=

1

2n

-

1

2×3n

-

1

2

．