Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3（I）若对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3（I）若对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（II）证明：x∈（0，+∞）时exlnx≥1?2ex?1x．

Answer 1

（Ⅰ）由2f（x）≥g（x）得2xlnx≥-x²+ax-3，由于x＞0
则a≤

x2+3+2xlnx

x

，设h（x）=

x2+3+2xlnx

x

，
h′(x)＝

x2+2x?3

x2

＝

(x+3)(x?1)

x2

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增，
因而h（1）最小为4，那么a≤4；
（II）要证明，exlnx≥1?

2ex?1

x

，即证xlnx≥

x

ex

?

2

e

，
∵f′（x）=lnx+1=0时x=

1

e

，f（x）的最小值为f（

1

e

)＝?

1

e

=?

1

e

，
设φ（x）=

x

ex

?

2

e

，
φ′（x）=

ex?xex

e2x

＝0时x=1，φ（x）的最大值为φ（1）=?

1

e

f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，即xlnx≥

x

ex

?

2

e

，
因而exlnx≥1?

2ex?1

x

．