Question

如图△ABC为等边三角形，直线a ∥ AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．（1）若D在BC

如图△ABC为等边三角形，直线a ∥ AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA； （2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

Answer 1

（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF． ∵∠ACB=60°， ∴△DCF为等边三角形． ∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°． ∴∠3=∠5． ∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE， ∴∠1=∠2． 在△ADF和△EDC中， ∠1=∠2 ∠3=∠5 DF=DC ， ∴△ADF≌△EDC（AAS）． ∴CE=AF． ∴CD+CE=CF+AF=CA． （2）CD、CE、CA满足CE+CA=CD； 证明： 在CA延长线上取CF=CD，连接DF． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∵CF=CD， ∴△FCD为等边三角形． ∵∠1+∠2=60°， ∵∠ADE=∠2+∠3=60°， ∴∠1=∠3． 在△DFA和△DCE中 ∠F=∠DCE DF=CD ∠1=∠3 ， ∴△DFA≌△DCE（ASA）． ∴CE=FA． ∴CE+CA=FA+CA=CF=CD． 注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证． 证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．