Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．

Answer 1

（1）直线BD与⊙O相切．（1分） 证明：如图，连接OD． ∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90° 又∵∠CBD=∠A ∴∠ADO+∠CDB=90° ∴∠ODB=90° ∴直线BD与⊙O相切．（2分） （2）解法一：如图，连接DE． ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90° ∵AD：AO=8：5 ∴ cosA= AD AE = 4 5 （3分） ∵∠C=90°，∠CBD=∠A cos∠CBD= BC BD = 4 5 （4分） ∵BC=2， ∴ BD= 5 2 （5分） 解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H． ∴AH=DH= 1 2 AD ∵AD：AO=8：5 ∴cosA= AH AO = 4 5 （3分） ∵∠C=90°，∠CBD=∠A ∴ cos∠CBD= BC BD = 4 5 （4分） ∵BC=2 ∴ BD= 5 2 （5分）