Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90 o ，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90 o ，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)． （1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer 1

（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似；（2） ；（3）y的最小值为19

试题分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长； （3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值． （1）∵CD∥AB ∴∠BAC=∠DCA  又∵AC⊥BC，∠ACB=90 o   ∴∠D="∠ACB=" 90 o    ∴△ACD∽△BAC； （2）   ∵△ACD∽△BAC ∴  ，即 ，解得： （3）过点E作AB的垂线，垂足为G，   ∴△ACB∽△EGB  ∴  即 ，解得    =  = 故当t= 时，y的最小值为19 点评：三角形相似是考察的重点，考生要学会分析三角形相似的基本性质，动点和图形的结合是常考点.