Question

已知函数f（x）=（-ax 2 -2x+a）?e x ，（a∈R）．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x

已知函数f（x）=（-ax 2 -2x+a）?e x ，（a∈R）．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[-1，1]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=-2时，f（x）=（2x 2 -2x-2）?e x ，定义域为R． f′（x）=）=（2x 2 -2x-2）?e x +（4x-2）?e x =2（x-1）（x+2）?e x ． 由f′（x）＞0得x＜-2或x＞1，由f′（x）＜0，得-2＜x＜1， ∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单调递减区间为（-2，-1）． （2）f′（x）=（-ax 2 -2x+a）?e x +（-2ax-2）?e x =-[ax 2 +2（a+1）x+2-a]?e x ． 令g（x）=-ax 2 -2（a+1）x+a-2． ①当a=0时，g（x）=-2x-2，在（-1，1）内g（x）＜0，f′（x）＜0， 函数f（x）在[-1，1]上单调递减． ②当a＞0时，g（x）=-ax 2 -2（a+1）x+a-2是二次函数，其对称轴为x=-1- 1 a ＜-1， 当且仅当g（-1）≤0，即a≤0时，f′（x）≤0，此时无解． ③当a＜0时，g（x）=-ax 2 -2（a+1）x+a-2是二次函数， 当且仅当 g(-1)≤0 g(1)≤0 即 a≤0 -2a-4≤0 ．∴-2≤a＜0时，f′（x）≤0， 此时函数f（x）在[-1，1]上单调递减． 综上，实数a的取值范围是[-2，0]．