Question

设抛物线y 2 =4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是______

设抛物线y 2 =4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是______．

Answer 1

抛物线y 2 =2Px①设AB：y=k（x- p 2 ），直线方程与抛物线方程联立消去y得 得k 2 x 2 -（k 2 p+2p）x+ k 2 p 2 4 =0． ∴x 1 +x 2 = k 2 p+2p k 2 ． 又由抛物线定义可得 m+n=x 1 +x 2 +p= 2 k 2 p+2p k 2 = 2 p(k 2 +1) k 2 ， m?n=（x 1 + p 2 ）（x 2 + p 2 ）= p (k 2 +1) k 2 ， ∴ 1 m + 1 n = m+n mn = 2 p ． ②若k不存在，则AB方程为x=- p 2 ，显然符合本题． 综合①②有 1 m + 1 n = 2 p ∵p=2 ∴ 1 m + 1 n =1 故答案为 1 m + 1 n =1