Question

已知|z|=1，则 |z-1+ 3 i| 的最大值和最小值分别是______、______

已知|z|=1，则 |z-1+ 3 i| 的最大值和最小值分别是______、______．

Answer 1

∵|z|=1，∴可设z=cosθ+isinθ， ∴ |z-1+ 3 i| =|cosθ-1+（sinθ+ 3 ）i|= (cosθ-1 ) 2 +(sinθ+ 3 ) 2 = 2 3 sinθ-2cosθ+5 = 4sin(θ+ π 6 )+5 ， ∴当 sin(θ+ π 6 )=1 时，则 |z-1+ 3 i| 取得最大值3；当 sin(θ+ π 6 ) =-1时，则 |z-1+ 3 i| 取得最小值1． 因此 |z-1+ 3 i| 的最大值和最小值分别是3、1． 故答案为3、1．